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Otras aplicaciones de la teoría de bandas: la conductividad

En este artículo me gustaría dar un paso atrás y retomar la teoría de bandas. Ya en mi artículo sobre la transparencia introduje esta teoría de forma somera. Sin embargo, dado que nos hemos basado en ella para explicar los efectos físicos en casi todos mis artículos, creo que se merece un artículo propio. Sobre todo teniendo en cuenta que es una teoría fundamental en la física moderna y que no se limita a explicar efectos ópticos. No se trata de entrar en la demostración matemática de la teoría de bandas, lo cual sería largo y arduo y estaría lleno de complejidades matemáticas.

Recordemos que la formación de las bandas se debía a que los electrones son fermiones (nombre dado en honor al físico y Premio Nobel Enrico Fermi) y que, por tanto, cumplen el Principio de Exclusión de Pauli. La formación de las bandas se producía al interaccionar diversos átomos entre ellos, ya que, aunque mientras están aislados los niveles energéticos permitidos para los electrones de cada átomo pueden ser idénticos, una vez que empiezan a interaccionar, el Principio de Exclusión de Pauli impide que esto siga siendo así, dividiendo los niveles energéticos originales en tantos “subniveles” como átomos estén interaccionando. Al aumentar el número de átomos que interaccionan entre sí, la separación entre “subniveles” decrece hasta que las diferencias se hacen tan pequeñas que son inapreciables.

Sin excitación externa (es decir a 0ºK), los electrones tienden a ocupar los niveles energéticos más bajos. Se llama nivel de Fermi al nivel más alto de energía que estaría teóricamente ocupado a 0ºK. En caso que este coincida con el nivel superior de banda de valencia, por simetría, éste se sitúa en mitad de la banda prohibida. Es decir, a 0ºK todos los niveles permitidos por encima del nivel de Fermi estarían vacíos y todos los niveles por debajo estarían ocupados. Conforme aumenta la temperatura, algunos electrones cercanos al nivel del Fermi pueden pasar a niveles de energía ligeramente por encima de éste. La distribución de ocupación electrónica se conoce como estadística de Fermi-Dirac y tiene el siguiente aspecto.

Por supuesto, dentro de las bandas prohibidas, aunque la probabilidad de ocupación prevista por la estadística de Fermi-Dirac sea mayor que cero, al no haber niveles permitidos, no hay electrones.

Llegados a este punto, hablaremos de cómo se relaciona esta teoría con la conductividad de los materiales, tomando sentido el nombre de banda de conducción con el que ya estamos familiarizados. Para comenzar, recordemos que un electrón no puede moverse a un nivel ya ocupado, de modo que para que pueda moverse ha de tener niveles libres accesibles. Con esto, podemos imaginar tres situaciones posibles:

  • Que la banda de valencia y la banda de conducción estén muy separadas. Estos materiales son los que conocemos como aislantes. En ellos, la banda prohibida es tan amplia que, a temperatura ambiente, la ocupación de la banda de valencia es prácticamente total y la banda de conducción está casi totalmente vacía.
  • Que ambas bandas estén muy juntas o incluso se superpongan formando una única banda (es el caso de los metales). Estos materiales los conocemos como conductores. En ellos, a temperatura ambiente, muchos electrones estarán en la banda de conducción, donde tienen niveles libres a los que moverse para producir el efecto de conducción eléctrica. Además, cada electrón en la banda de conducción habrá dejado un “hueco” en la banda de valencia a la que podrán moverse los electrones de esa banda, permitiendo así mismo la conductividad eléctrica.
  • Que ambas bandas estén separadas ligeramente. Estos materiales se conocen como semiconductores (entre ellos, el Silicio) y tienen propiedades interesantísimas en electrónica. En posteriores artículos volveré sobre estos materiales. Por ahora decir sólo que la conclusión evidente es que estos materiales son mejores conductores cuanto mayor es la temperatura y mejores aislantes cuando menor es la temperatura; es decir, justamente al contrario que los metales.

Más información| Enrico Fermi (Wikipedia); Conductores, aislantes y semiconductores; Introducción a la teoría de bandas; Distribución de los electrones en las bandas; Semiconductores

Imágenes| Distribución de Fermi-Dirac; Tipos de materiales

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